Calculadora de tamaño de muestra

Estimación de proporciones

1. Problema

En una investigación cuantitativa muchas veces se desea estimar una proporción: por ejemplo, el porcentaje de personas que aprueba una medida, la proporción de estudiantes que posee una característica o la frecuencia esperada de un evento. Si no es posible medir a toda la población, se selecciona una muestra suficientemente grande para controlar el error de estimación.

La fórmula trabaja con cuatro elementos: el nivel de confianza \(Z\), la proporción esperada \(p\), su complemento \(q=1-p\), el error máximo admisible \(e\) y, cuando se conoce, el tamaño poblacional \(N\).

2. Teoría

Pasamos ahora al problema de estimar, a partir de una muestra aleatoria simple, la proporción \(P\) de unidades de una población que pertenecen a una clase \(A\), como la proporción de hombres, la proporción de desempleados u otra característica de interés.

Si asociamos con \(U_i\), la \(i\)-ésima unidad de la población, una variable \(Y_i\) que toma el valor unidad si la unidad pertenece a \(A\) y cero en caso contrario, el número total de unidades que pertenecen a \(A\) es \(\sum Y_i = Y\), y la proporción que pertenece a \(A\) es:

Así, el problema de estimar una proporción poblacional se reduce al de estimar una media poblacional, definiendo la variable \(y\) como una variable dicotómica. Por tanto, no intervienen nuevos principios, siempre que trabajemos con esta nueva variable para realizar estimaciones a partir de la muestra.

Denotando por \(N_0\) y \(n_0\) el número de unidades que pertenecen a la clase \(A\) en la población y en la muestra de tamaño \(n\), respectivamente, tenemos:

donde \(p\) es la proporción muestral. En el muestreo aleatorio simple, una estimación insesgada de la proporción poblacional \(P\) está dada por:

En el muestreo sin reemplazo, la varianza de \(p\) es:

Puesto que:

Además, la varianza estimada de \(p\) se expresa como:

En el muestreo con reemplazo:

Así, la varianza de \(p\) depende de la proporción poblacional \(P\) y del tamaño de muestra \(n\). Además, \(P(1-P)\) es máximo cuando \(P=1/2\), para cuyo valor de \(P\) la varianza de \(p\) es:

Por otra parte, el coeficiente de variación de \(p\) es:

Este disminuye monótonamente a medida que \(P\) aumenta de 0 a 1.

Si el valor de \(P\) se estima como \(0.05\) y \(d_0\) es \(0.10\), entonces:

Se necesita un tamaño de muestra muy grande si \(P\) es muy pequeño, es decir, si el elemento es raro en la población.

3. Fórmula finita

Si el tamaño de la población es conocido, la corrección por población finita ajusta el tamaño muestral para no exigir una muestra innecesariamente grande:

• \(n\): tamaño de muestra requerido.
• \(N\): tamaño total de la población.
• \(Z\): valor crítico asociado al nivel de confianza. Para 95%, suele usarse \(Z=1.96\).
• \(p\): proporción esperada de éxito o presencia del atributo.
• \(q\): proporción complementaria, usualmente \(q=1-p\).
• \(e\): margen de error tolerado, expresado como decimal. Por ejemplo, 5% se ingresa como 0.05.

6. Calculadoras

4. Límite al infinito

Queremos evaluar el límite de la fórmula para población finita cuando la población crece sin límite:

Primero desarrollamos el denominador:

Entonces:

Dividimos el numerador y el denominador entre \(N\):

Simplificando:

Como \(\lim_{N\to\infty}\frac{e^2}{N}=0\) y \(\lim_{N\to\infty}\frac{Z^2pq}{N}=0\), se obtiene:

En consecuencia, cuando \(N\to\infty\), la fórmula para población finita tiende a la fórmula para población infinita:

5. Gráfico interactivo

Modifica los parámetros y observa cómo \(n(N)\) se acerca al límite de población infinita. El eje horizontal usa escala logarítmica para mostrar poblaciones pequeñas y grandes en la misma gráfica.

Cálculo muestral para una prueba de correlación

1. Planteamiento

Este caso corresponde al modelo Exact → Correlation: Bivariate normal model, usado para planificar una prueba de correlación de Pearson bajo normalidad bivariada. El objetivo es encontrar el menor tamaño muestral que alcance una potencia mínima.

3. Fundamento estadístico

Teoría subyacente. Se supone que cada observación es un par independiente \((X_i,Y_i)\) procedente de una población normal bivariada. El parámetro de interés es la correlación poblacional de Pearson \(\rho\).

En una prueba bilateral, la hipótesis alternativa general es \(\rho \neq \rho_0\). En una prueba unilateral, la dirección queda fijada antes de observar los datos: \(\rho > \rho_0\) o \(\rho < \rho_0\). El coeficiente de correlación muestral de Pearson se define como:

\(\alpha\) es la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando \(H_0\) es verdadera. \(\beta\) es la probabilidad de no rechazar \(H_0\) cuando la alternativa especificada es verdadera.

En un análisis a priori se busca el menor entero \(N\) cuya potencia real sea mayor o igual que la potencia solicitada.

4. Distribución exacta de \(r\)

Para una muestra de tamaño \(N\), la densidad exacta de la correlación muestral \(r\), cuando la correlación poblacional es \(\rho\), se evalúa como:

La calculadora integra numéricamente esta densidad para obtener su función de distribución acumulada:

Para \(\rho_0=0\), los cuantiles críticos también se obtienen de la identidad exacta:

5. Regla de decisión

La regla de decisión depende del número de colas y de la dirección de la alternativa:

La búsqueda del tamaño muestral evalúa tamaños candidatos con la distribución exacta de \(r\) y devuelve el menor \(N\) que alcanza la potencia solicitada.

6. Alcance